Cайт учителя Сеновой 

Натальи Владимировны

ОЛИМПИАДА

по математике (6 класс) (школьный тур)

вариант 1

1. Если к задуманному числу прибавить 0,43 его, а затем от полученного числа отнять 0,58 задуманного числа и ещё 4,04 , то получим 30,3. Найти задуманное число.

 2. Ваня проехал на велосипеде от дома до школы на 2 ч 45 мин быстрее, чем Петя прошёл этот же путь пешком. Каково расстояние от школы до дома, если скорость Вани на велосипеде 15 км/ч , а Пети — пешком 4 км/ч?

 3. На прямой отметили точки А, В, С, D. Известно, что AD = 6 см, ВС = 8 см, Укажите расположение точек, чтобы расстояние между серединами AB и CB равнялось 3 см.

 4. Может ли сумма 14 натуральных чисел быть в 4 раза больше их произведения?

 5. Восстановите цифры 977,6 : 3,*5 = 3**,8.

Вариант 2

1. Найти все такие натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить нуль.

 2. Разделить прямоугольник со сторонами 1 и 2 на треугольники так, чтобы все они были равнобедренными и остроугольными (треугольник называется равнобед-ренным, если у него есть две равные стороны; остроугольным - если все его углы меньше 90°).

 3. Двое играют в такую игру. Из кучки, где лежит 1999 камешков, каждый по очереди забирает один или два камешка. Проигрывает тот, кто вынужден забрать последний камешек. Кто из игроков выиграет при правильной игре - первый или второй? Описать выигрышную стратегию.

 4. Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энцикло-педического словаря, не превосходит 2000 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2000. Сколько страниц в словаре?

 5. В некоторой стране 99 городов. Любые два города можно связать авиалинией. Какое наименьшее число авиалиний достаточно проложить, чтобы из любого города в любой другой можно было долететь не более чем с одной пересадкой? Опишите получающуюся схему авиасообщений и докажите, что меньшим числом авиалиний обойтись нельзя.

Вариант 3

 1. Как от куска материи 2/3 метра отрезать полметра, не имея под руками метра?

 2. При сложении двух целых числе ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний ноль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Определить слагаемые.

 3. На олимпиаду пришли 10 учащихся из одного класса. Сколькими способами можно их распределить по четырем аудиториям, в которых они будут писать работу?

 4. Доказать, что 1110-1 делится на 100 без остатка.

 5. В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причем словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

 6. Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Исследовать выигрышные стратегии для каждого игрока.

Вариант 4

1. Четно или нечетно число (1+2+..+2001+2003+2004+2005)/2005?

 2. За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 — лысые. Доказать, что какие-то двое лысых сидят друг напротив друга.

 3. Рубик разрубает свой кубик на маленькие кубики. Сколько раз ему придется взмахнуть топором, чтобы это сделать, если наложения кусков кубика друг на друга при разрубании разрешены? Найти минимальное значение.

 4. В детский сад привезли кубики, красные и синие. Каждому из 100 детей выдали по 3 кубика, и каждый ребенок построил из своих кубиков башню. Какое наибольшее число различно раскрашенных башен могло получиться? А если выдали по 4 кубика? По 5?

5. Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК+УДАР=ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?

 6. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

Вариант 5

 1.  (4 балла) У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

 2.  (4 балла) Найдите последнюю цифру числа 1111 • 2222 • 3333 • 4444 • 5555.

 3.  ( 5 баллов) Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из автобуса: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!». Кто на чем ездит домой?

 4.   (5 баллов) Как отмерить 20 минут для варки каши, имея песочные часы на 9 минут и на 7 минут?  

 5.   (5 баллов) Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и Даня – 100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?  

 6.   (5 баллов) Старинная задача. Хозяин обещал работнику за 30 дней 9 рублей и кафтан. Через три дня работник уволился и получил кафтан. Сколько стоил кафтан?